Calculadora de MMC e MDC
Digite dois ou mais números e veja o MMC (mínimo múltiplo comum), o MDC (máximo divisor comum) e a fatoração em primos de cada um.
Revisado em por Anderson Alves, QMIX Digital
| Número | Fatoração em primos |
|---|---|
| 12 | 2^2 × 3 |
| 18 | 2 × 3^2 |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
O que são MMC e MDC
MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número que é múltiplo de todos os números dados; o MMC de 12 e 18 é 36. MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide todos eles sem resto; o MDC de 12 e 18 é 6. Para dois números, MMC × MDC é igual ao produto dos dois. O MMC serve para somar frações e resolver problemas de repetição; o MDC, para simplificar frações e dividir em grupos iguais.
Como usar, passo a passo
- Digite os números. Dois ou mais inteiros positivos, separados por vírgula ou espaço, até 10 números.
- Leia MMC e MDC. Os dois aparecem em destaque.
- Confira a fatoração. A tabela mostra cada número decomposto em fatores primos, para conferir a conta ou copiar na resolução.
Como calcular MMC e MDC pela fatoração
Decomponha cada número em fatores primos. O MDC é o produto dos fatores comuns a todos, cada um com o menor expoente. O MMC é o produto de todos os fatores que aparecem, comuns ou não, cada um com o maior expoente.
Exemplo com 12, 18 e 30
| Número | Fatoração |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
- MDC: fatores comuns com menor expoente: 2 × 3 = 6.
- MMC: todos os fatores com maior expoente: 2² × 3² × 5 = 180.
- Conferência para dois números: MMC(12, 18) × MDC(12, 18) = 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
O método da decomposição simultânea (dividir os números lado a lado pelos primos até chegar a 1) dá o mesmo resultado e é o mais ensinado na escola.
Algoritmo de Euclides: o jeito rápido de achar o MDC
Para números grandes, fatorar é lento. O algoritmo de Euclides acha o MDC só com divisões: divida o maior pelo menor, depois o menor pelo resto, e repita até o resto ser zero; o último divisor é o MDC. Para 252 e 105: 252 ÷ 105 dá resto 42; 105 ÷ 42 dá resto 21; 42 ÷ 21 dá resto 0. O MDC é 21.
Achado o MDC, o MMC de dois números sai da relação MMC = (a × b) ÷ MDC: (252 × 105) ÷ 21 = 1.260. Para três ou mais números, aplica-se em cadeia: MMC(a, b, c) = MMC(MMC(a, b), c). É assim que a calculadora trabalha, o que permite lidar com números grandes sem travar.
Problemas clássicos de MMC e MDC
| Problema | Usa | Resposta |
|---|---|---|
| Dois ônibus saem juntos; um a cada 12 min e outro a cada 18 min. Quando saem juntos de novo? | MMC | 36 minutos |
| Somar 1/12 + 1/18 | MMC como denominador | 3/36 + 2/36 = 5/36 |
| Cortar barbantes de 12 m e 18 m em pedaços iguais, os maiores possíveis | MDC | Pedaços de 6 m |
| Simplificar a fração 12/18 | MDC | 12 ÷ 6 / 18 ÷ 6 = 2/3 |
| Montar kits iguais com 24 canetas e 36 lápis, sem sobra, o maior número de kits | MDC | 12 kits |
A regra de bolso: perguntas sobre "quando vai coincidir de novo" ou "o menor que atende a todos" pedem MMC; perguntas sobre "dividir em partes iguais as maiores possíveis" pedem MDC.
MMC e MDC em frações e em programação
Na soma de frações, o MMC dos denominadores é o menor denominador comum: 1/4 + 1/6 usa 12, virando 3/12 + 2/12 = 5/12. Na simplificação, divide-se numerador e denominador pelo MDC: 18/24 com MDC 6 vira 3/4. Em programação, o MDC pelo algoritmo de Euclides aparece em criptografia (RSA usa números primos entre si), em redução de frações em linguagens que têm tipo racional e em cálculos de engrenagens e ciclos. A maioria das linguagens tem a função pronta: math.gcd no Python, BigInteger.gcd em Java, e o MMC se obtém por a × b ÷ MDC.
Perguntas frequentes
Qual a relação entre MMC e MDC?
Para dois números, MMC × MDC = produto dos dois números. A relação não vale diretamente para três ou mais.
Para que serve o MDC?
Para simplificar frações, dividir coisas em grupos iguais sem sobra e cortar medidas em pedaços iguais, os maiores possíveis.
Para que serve o MMC?
Para somar e subtrair frações com denominadores diferentes e para problemas em que eventos periódicos voltam a coincidir.
Dá para calcular com mais de dois números?
Sim, até 10 números, separados por vírgula ou espaço.
O MMC de números primos entre si?
É o produto deles, e o MDC é 1. Por exemplo, MMC(8, 9) = 72 e MDC(8, 9) = 1.
Qual é o MMC de 12 e 18?
36. O MDC é 6.
O que é o algoritmo de Euclides?
Um método de divisões sucessivas para achar o MDC: divide-se o maior pelo menor e depois o divisor pelo resto, até o resto zero.